信息论基础

离散随机变量的信息度量

$$ H(X) = \mathbf E\{H(X=x_i)\} = -\sum_i p_i \log p_i $$

称为熵

单位：

  • 2 (Bit)
  • e (Nat)
  • 10 (Hartely)

表示了信息描述的有效性极限

信源编码（Source Coding），通过信息的有效表示，提高通信的有效性。例如: Huffman 编码

离散随机变量的最大熵： $\max_{p_i} H(X) = \log|S|$

前缀码：任何码字都不是其他码字的前缀。前缀码保证了唯一可译码。是二叉树叶子节点。

Kraft不等式

对于信源字符集 $\lbrace a_1, \dots, a_m\rbrace$ ，必满足：

$$ \sum\limits_{k=1}^{M}2^{-l(a_k)} \le 1 $$

同时，若上式成立，必存在码长分别为 $𝑙(𝑎_𝑘)$ 的前缀码。

最小前缀码的平均码长：

$$ \min \bar L =\sum\limits_{i=1}^{M}p_il_i\\ s.t.\sum\limits_{i=1}^{M} 2^{-l_i} = 1 $$

由拉格朗日乘子法

$$ p_i = 2^{-l_i}, \bar L_{min} = -\sum\limits_{i=1}^{M}p_i \log p_i $$

记 $H(X) = -\sum p_i\log p_i$ .一般的，上下界为 $H(X) \le \bar L \lt H(X) + 1$ .

如果我们将 $k$ 个独立同分布的信源符号 $x_1, \dots, x_k$ 堪称一个，对整体应用前缀码编码：

$$ \begin{align*} H(X_1, \dots, X_k) &= -\sum P(x_1, \dots, x_k) \log P(x_1, \dots, x_k)\\ &= -\sum P(x_1, \dots, x_k) [\log P(x_1) + \dots + \log(x_k)]\\ &= -\sum P(x_1)\log (x_1) - \dots - \sum P(x_k)\log (x_k)\\ &= -kH(X) \end{align*} $$

直观：对长度为 $𝑛$ 的 $M$ 种信源符号序列， $𝑥_𝑖$ 出现的次数 $≈𝑛𝑝_𝑖$

典型序列应满足上述分布，否则就“小众”“非典型”

典型的个数 # $≈ \frac{𝒏!}{(𝑛𝑝_1) !… (𝑛𝑝_M) !}$

平均每个信源符号可以用 $L = \frac{1}{n}\log\left(\frac{𝒏!}{(𝑛𝑝_1) !… (𝑛𝑝_M) !}\right)$ 个 bit 来表达。

通过 Stirling 公式可以得出 L的上下界。

故

$$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}^{} L = H(X) $$

最大熵

离散型随机变量的最大熵为

$$ \max_{p_i} H(X) = \log |S| $$

可以用梯度法直观感受，当所有分量的概率相等时，熵最大。

联合熵

联合概率

$$ p_{i, j} = \text{Pr}\lbrace X = x_i, Y = y_j\rbrace $$

联合熵的定义：

$$ H(XY) = -\sum\limits_{i}^{}\sum\limits_{j}^{} p_{i, j} \log p_{i, j} $$

条件熵

条件概率

$$ p_{i\mid j} = \text{Pr}\lbrace X = x_i \mid Y = y_j\rbrace $$

条件熵的定义：

$$ H(X|Y) = -\sum\limits_{i}^{}\sum\limits_{j}^{} p_{i, j} \log p_{i\mid j} $$

通过相关观测进行无损压缩，若观测到 $Y = \alpha_j$ ：

$$ \bar L(\alpha_j) = -\sum\limits_{i}^{}\sum\limits_{j}^{} p_{i\mid j} \log p_{i\mid j} $$

于是

$$ \bar L =-\sum\limits_{j=1}^{N} \bar L(\alpha_j)p_j = -\sum\limits_{j=1}^{N}p_j\sum\limits_{i=1}^{M}p_{i|j} \log(p_{i|j}) = -\sum\limits_{i=1}^{M}\sum\limits_{j=1}^{N}p_{ij}\log(p_{i|j}) = H(X|Y) $$

链式法则

$$ H(XY) = H(Y) + H(X|Y) $$

两个随机变量的联合不确定性＝一个随机变量的不确定性＋知道这个随机变量后另一个随机变量残余的不确定性

互信息(Mutual Infomation)

$$ \begin{align*} I(X;Y) &= H(X) + H(Y) - H(XY)\\ &= H(X) - H(X|Y) \\ &= H(Y) - H(Y|X) \end{align*} $$

互信息的物理意义

第一种理解：

  • X的不确定度减去观测Y后X残存的不确定度
  • 即：通过观测Y带来的帮助了解X的信息

第二种理解：

  • Y的不确定度减去观测X后Y残存的不确定度
  • 即：通过观测X带来的帮助了解Y的信息

若 $X, Y$ 相互独立，记为 $X\perp Y$ ，则 $I(X;Y) = 0$ ， $H(X) = H(X|Y)$ ， $H(Y) = H(Y|X)$ 。观测一个随机变量完全无助于了解另一个随机变量。

  • $H(XY) = H(X) + H(Y)$ ，总平均码长等于各自平均码长之和。

若 $X = Y$ ，则 $I(X;Y) = H(X) = H(Y)$ ， $H(X|Y) = H(Y|X) = 0$ 。观测一个随机变量完全了解另一个随机变量。

$H(XY) = H(Y) + H(X|Y) = H(Y)$ ，只需要编码其中一个即可。 $$ X \perp Y \leftrightarrow H(X + Y | X) = H(Y | X) = H(Y), H(X + Y, X) = H(Y , X) $$ $$ H(X + X | X) = H(X | X) = 0, H(X + X, X) = H(X , X) = H(X) $$

信息传输的基本模型

  • 信息通道，简称信道（Channel）对于输入符号有随机扰动，本质上可用一组条件概率表示
  • 限于物理条件，信宿只能观测信道输出 $Y$ ，由此了解其输入 $X$
  • 通过观测Y可以获得的关于X的信息量是 $I(X;Y)$

信息传输的优化

目标：最大化发送端 $X$ 和接收方 $Y$ 的互信息

方法：

  • 信道是由物理实现所决定的，无法控制
  • 但是可以选择X的概率分布

因此有如下优化问题：

$$ p*_i = \argmax_{\sum_i p_i = 1, p_i \ge 0} I(X;Y) $$

定义信道容量 $C = \max_{\sum_i p_i = 1, p_i \ge 0} I(X;Y)$

信道容量的物理意义

  • 平均每个信道符号所能传的最大的信息量
  • 或：单位时间内信道所传最大的信息量

优化问题的表达式

$$ p_i^* = \argmax_{\sum_i p_i = 1, p_i \ge 0} - \sum_i\sum_j p_i p_{j|i} \log \frac{\sum\limits_i p_i p_{j|i}}{p_{j|i}} $$

信道容量不易计算

对称二进制信道(BSC)

  • 一种典型信道模型
  • 分析信道编码时有很多应用

利用互信息表达式

$$ \begin{align*} I(X;Y) &= H(Y) - H(Y | X)\\ &= H(Y) - \sum_i p_i \left[-\sum_j p_{j|i} \log p_{j|i}\right]\\ &= H(Y) - [-\varepsilon\log \varepsilon - (1 - \varepsilon)\log(1 - \varepsilon)]\\ &\le 1 - [-\varepsilon\log \varepsilon - (1 - \varepsilon)\log(1 - \varepsilon)] = C\\ \end{align*}\\ Y \sim \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix} $$

如果误码率 $\varepsilon = 0.5$ ，则信道容量为0, 传递不了信息。

如果误码率 $\varepsilon > 0.5$ ，继续增大差错率，反而可以提高信道容量。

高斯信道

$$ Y = X + N\\ f_N(n) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp\left(-\frac{(y - x)^2}{2\sigma^2}\right) $$

alt

alt

Shannon 公式

$$ C = W\log(1 + \frac{P}{Wn_0}) $$

连续性随机变量的熵

$$ H(X) = - \int\limits_{-\infty}^{\infty}p(x)\log p(x) \mathrm dx + \lim_{\Delta \rightarrow 0} \log \frac{1}{\Delta} $$

我们只关心相对不确定性，定义微分熵

$$ h(X) = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}p(x) \log p(x)\mathrm dx $$

微分熵是对连续型变量相对不确定性的一种描述

  • 其定义剔除了连续性或“精准要求”带来的困难，保
    留了分布函数形状自身的特征
  • 它说明用有限字符集合的字符串描述连续分布的随机
    变量，则平均字符长度为无穷大
  • 为了用有限长字符串描述信源，需要进行有损压缩，
    从而带来失真，即原始信源和压缩结果之间的差异
  • 失真测度包括：均方误差，绝对值误差，主观误差等
  • 对于图像，视频和语音等连续信源的编码等均属于有
    损压缩

多元随机变量的熵

联合熵：

$$ h(XY) = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}p(x, y) \log p(x, y)\mathrm dx \mathrm{d}y $$

条件熵：

$$ h(Y|X) = -\int\limits_{-\infty}^{\infty}p(x, y) \log p(y|x)\mathrm dx \mathrm{d}y $$

互信息：

$$ \begin{align*} I(X;Y) &= h(X) + h(Y) - h(XY)\\ &= h(X) - h(X|Y) \\ &= h(Y) - h(Y|X) \end{align*} $$

压缩编码

压缩编码的分类

  • 无损压缩
    • 输入：数字序列
    • 输出：数字序列
    • 目的：使得平均长度更小
  • 有损压缩
    • 输入：模拟信号
    • 输出：数字序列
    • 目的：实现数字传输

信号压缩编码的步骤：

  • 抽样
  • 量化
  • 压缩编码

抽样

连续时间信源的离散化

离散化的方式：在标准正交基上投影展开

$$ s(t) = \sum_k a_k\phi_k(t)\\ a_k = <s(t), \phi_k(t)> $$

若 $s(t)$ 是时限信号（宽度 $T$ ），可以用傅里叶展开的系数作为离散化结果： $s(t) = \sum\limits_k a_k e^{2\pi jkt/T}$

若 $s(t)$ 是带限信号（带宽 $W$ ），可以在频域对 $\hat S(f)$ 做傅里叶展开：

$$ \hat S(f) = \sum\limits_k \alpha_k e^{2\pi jkf/(2W)} $$

变换回时域时，得到 Nyquist 抽样定理：

$$ s(t) =\sum\limits_{k}^{}s(kT) \text{sinc}\left(\left(\frac{t}{T} - k\right)\right), T = \frac{1}{2W} $$

频域无混叠等价于时域无畸变

对于带通采样，有无混叠条件：

可以推导得出：

$$ f_s = 2B\left(1 + \frac{M}{N}\right)\\ N = \left\lfloor\frac{f_H}{B}\right\rfloor\\ M = \left\lbrace\frac{f_H}{B}\right\rbrace\\ B = f_H - f_L $$

横轴为 $f_H/B$ ，纵轴为 $f_s$

量化

分层电平： $\lbrace x_k \lt x \le x_{k + 1} \rbrace$

重建/输出电平： $y_k$ 代表一个量化区间，用以重构信号时使用的电平值

量化函数： $y = Q(x)$ , $y_k = Q\lbrace x_k \lt x \le x_{k + 1} \rbrace$

量化间隔： $\Delta_k = x_{k + 1} - x_{k}$

均匀量化 & 非均匀量化

均匀量化只对有界随机变量存在

量化

  • 在此只讨论标量的量化
  • 量化噪声： $q = x - y = x - Q(x)$
  • 量化噪声是一个随机变量
  • 方差 $\sigma_q^2 = \int_{-\infty}^{\infty}[x - Q(x)]^2p_x(x)\mathrm dx$
  • 方差与输入信号分布有关，不存在普适的最佳量化方案

量化噪声的计算

$$ \sigma_q^2 =\sum\limits_{k=1}^{L}\int_{x_k}^{x_{k + 1}}(x - y_k)^2p_x(x)\mathrm dx $$

从较容易的情况着手

  • 只考虑电平区间 $[-V,V]$ 之间的信号，并假设量化间隔很小，亦即分层电平很密
  • 在实际情况中，信号的分布函数处处可导，此时每个量化区间内信号的条件分布为均匀分布

量化区间内，近似概率密度 $p_x(x) = \frac{P_k}{\Delta_k}$

密集分层的量化噪声近似

$$ \sigma_{qn}^2 = \sum\limits_{k=1}^{L}\int_{x_k}^{x_{k + 1}}(x - y_k)^2p_x(x)\mathrm dx = \sum\limits_{k=1}^{L}\frac{P_k}{\Delta_k}\int_{x_k}^{x_{k + 1}}(x - y_k)^2\mathrm dx = \frac{1}{12}\sum_{k = 1}^L P_k\Delta_k^2 = \frac{1}{12} \int_{-V}^{V}(\Delta_k)^2p_x(x)\mathrm dx $$

若 $\Delta_k = \Delta$ ，

$$ \sigma_{qn}^2 = \frac{1}{12}\sum_k P_k\Delta_k^2 = \frac{\Delta_k^2}{12} $$

计算量化结果做无损压缩后的比特数：

$$ H(Q(x)) = -\sum_k P_k \log P_k = \underbrace{- \int_{-\infty}^{\infty}p_x(x)\log p_x(x) \mathrm dx }_{h(X)} + \log \frac{1}{\Delta} $$

由 $\Delta = \sqrt{12\sigma_{qn}^2} = 2\sigma_{qn}\sqrt{3}$ ，

$$ H(x) = h(x) + \log \frac{1}{2\sigma_{qn}\sqrt{3}} $$

无损压缩的 bit 数为： $\tilde{R} = h(X) - \frac{1}{2}\log \sigma_{qn}^2 - 1.8$

对于均匀量化：

$$ \Delta_k = \frac{x_{max} - x_{min}}{L} = \frac{2x_{max}}{L}, \forall k $$

于是

$$ \sigma_{qn}^2 = \frac{\Delta^2}{12} = \frac{x_{max}^2}{3L^2} $$

这里的 $\sigma_{qn}^2$ 是正常量化噪声，仅仅是计算了信号落在 $[-x_{max}, x_{max}]$ 内的情况

如果信号落在 $[-x_{max}, x_{max}]$ 以外，就就近判断至两端的量化区间，产生过载噪声

$$ \sigma_{qo}^2 = \int_{x_{max}}^{\infty}(x - x_{max})^2p_x(x)\mathrm dx + \int^{-x_{max}}_{-\infty}(x + x_{max})^2p_x(x)\mathrm dx = 2\int_{x_{max}}^{\infty}(x - x_{max})^2p_x(x)\mathrm dx $$

总噪声等于正常量化噪声加上过载噪声：

$$ \sigma_{qs}^2 = \sigma_{qn}^2 + \sigma_{qo}^2 $$

如果用 $R$ bit 编码：

$$ \Delta_k = \frac{2x_{max}}{L} = \frac{x_{max}}{2^{R - 1}}\\ \sigma_{qn}^2 = \frac{\Delta^2}{12}\int_{-x_{max}}^{x_{max}}p_x(x)\mathrm dx = \frac{x_{max}^2}{3 \times 2^{2R}}\int_{-x_{max}}^{x_{max}}p_x(x)\mathrm dx $$

定义非过载信号功率：

$$ \sigma_s^2 = \int_{-x_{max}}^{x_{max}}x^2p_x(x)\mathrm dx $$

当 $\int_{-x_{max}}^{x_{max}}p_x(x)\mathrm dx \rightarrow 1$ ， $SNR_q \approx \frac{\sigma_s^2}{x_{max}^2/(3 \times 2^{2R})} = 3 \times 2^{2R} \times \zeta^2$ ，这里定义 $\zeta = \frac{\sigma_s}{x_{max}}$ 为量化范围内信号的饱满程度。

对数单位下：

$$ SNR_q(dB) = 6.02R + 20\log_{10}(\zeta) + 4.77 $$
  • 多一个 bit， $SNR_q$ 提升 $6.02dB$
  • $\zeta$ 要在合理范围， $\zeta$ 过大时过载会严重劣化性能

最优量化

目标：给定量化区间总数，最小化量化噪声

优化问题：

$$ \min \sum\limits_{k=1}^{L}\int_{x_k}^{x_{k + 1}}(x - y_k)^2 p_x(x)\mathrm dx\\ s.t. x_1\le y_1 \le x_2 \le y_2 \le \dots \le y_L \le x_{L + 1} $$

分层电平在重建电平的中点：

$$ \frac{\partial \sigma_q^2}{\partial x_k} = 0\\ \Rightarrow x_{k, opt} = \frac{1}{2}(y_{k, opt} + y_{k - 1, opt}) $$

重建电平在量化区间的质心：

$$ \frac{\partial \sigma_q^2}{\partial y_k} = 0\\ \Rightarrow y_{k, opt} = \frac{\int_{x_{k, opt}}^{x_{k+1, opt}}xp(x)\mathrm dx}{\int_{x_{k, opt}}^{x_{k+1, opt}}p(x)\mathrm dx} $$

对于均匀分布，质心即中点（对于可导的概率分布，当分层很密的时候同样成立）

$$ y_{k, opt} = \frac{\int_{x_{k, opt}}^{x_{k+1, opt}}xp(x)\mathrm dx}{\int_{x_{k, opt}}^{x_{k+1, opt}}p(x)\mathrm dx} = \frac{1}{2}(x_{k, opt} + x_{k + 1, opt}) $$

结合

$$ x_{k, opt} = \frac{1}{2}(y_{k, opt} + y_{k - 1, opt}) $$

可得均匀分布的最佳量化是区间等分，中点重建

工程用量化

语音信号的量化

$[-V, V]$ 内均匀量化的缺陷：
  • 最适合 $[-V, V]$ 之间的有限分布
  • 语音信号呈拉普拉斯分布，特点是：
    • 信号功率小
    • 动态范围大（长拖尾）
  • 如果采用均匀量化
    • 较大的V：增大[-V，V]内的量化噪声
    • 较小的V：增大过载噪声

解决思路1：非均匀量化

语音信号的非均匀量化

均匀量化的问题

  • 对具有不同“概率权重”的区间“一视同仁”
  • 没有考虑概率密度对于量化噪声的影响

解决方案

  • 对于信号经常出现的区域，使用较细的颗粒度进行量化
    • 信号经常落入这个区域，减小该区域的量化噪声损失
  • 对于信号不经常出现的区域，使用较粗的颗粒度进行量化
    • 信号不经常落入这个区域，量化噪声稍大不会影响大局

采用取对数后均匀量化的方法：

语音信号的瞬时压扩：

对数量化

  • 正常量化信噪比与信号的分布无关
  • 过载导致的噪声与信号的分布有关！

记 $\Delta_k$ 为对数化之前的量化区间, $\Delta_k^\prime = \Delta$ 为对数化之后的量化区间

实用的对数量化

实际工程中，采用另外两个函数（线性放缩，更容易实现）：

  • A律（欧洲提出，我国采用）
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{Ax}{1 + \ln A}, 0 \le x \le \frac{1}{A}\\ \frac{1 + \ln Ax}{1 + \ln A}, \frac{1}{A} \le x \le 1\\ \end{cases} $$

  • ITU G.712建议中取A＝87.6

  • 小信号时，信噪比增加了24dB

  • μ律（美国提出）

$$ f(x) = \frac{\ln (1 + \mu x)}{\ln (1 + \mu)}, 0 \le x \le 1 $$
  • ITU G.712建议中取μ＝255
  • 小信号时，信噪比增加了33.5dB

脉冲编码调制(PCM)

  • 语音信号的实际压缩编码方式
  • 包括两个主要步骤
  • 抽样： $f_s = 8000Hz$
  • 量化与编码：使用近似对数压扩，每个抽样量化为8位
  • PCM的输出码率为64kbps

该码率与其推导过程十分重要

PCM编码协议

基本思想

  • 用13折线近似A律
  • 用15折线近似μ律

码字结构：

$$ \mathop{M_1}\limits_{极性码} \quad \underbrace{M_2 \quad M_3 \quad M_4}_{段落码}\quad \underbrace{M_5 \quad M_6\quad M_7 \quad M_8}_{电平码} \quad $$

例：

1250的输出：1 110 0011

接收端解码： 1024 + 128 + 64 + 32 = 1248

数字基带传输

符号映射

符号集合

$M = |\mathcal{A}|$ 为符号集合 $\mathcal{A}$ 的符号数量。

bit 承载量
每个符号最多可对应 $r = \log_2|\mathcal{A}|$ 个 bit，称为集合的 bit 承载量

数字通信的典型符号：

  • ASK
  • PAM
  • PSK
  • QAM

邻位最小差错映射：Grey 码

相邻符号对应的 bit 串仅有一位差异

符号周期（Symbol Period）

  • 传输一个符号所需的平均时间
  • $T_s$

通信速率：

  • 符号速率： $R_s = \frac{1}{T_s}$
  • Bit 速率： $R_b = R_s \log_2 M = \frac{1}{T_s}\log_2 M$

数字调制

基带调制：将时间上离散的符号，加载到时间上形成连续的波形

通信信号具有带宽受限特性，因为：

  • 自然原因：各类通信线路，如双绞线，同轴电缆，射频功放等均对通过的频率有一定限制
  • 人为原因：多用户频谱共享通信，如蜂窝无线系统，需约束每路信号的带宽，以免相互干扰

如何产生带限信号？

产生一个信号 $s(t) =\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}a_kg(t- k T_s)$ ， $g(t) = \frac{\sin 2\pi Wt}{2\pi Wt}$ 是个带限信号。

$$ G(f) = \begin{cases} 1, |f| \le W,\\ 0, |f| \gt W \end{cases} $$

让间隔 $T_s$ 的冲击 $a_k\delta(t - kT_s)$ 依次通过冲击响应为 $g(t)$ 的低通滤波器

Nyquist 准则：无ISI条件

符号间串扰（Inter Symbol Interference, ISI）

对 $s(t)$ 采样：

$$ s(nT_s) = a_ng(0) + \underbrace{\sum\limits_{k=-\infty, k\ne n}^{\infty}a_kg\big((n - k)T_s\big)}_{\text{ISI}} $$

怎么让 ISI 为0？

眼图：观察符号间串扰

眼图（Eye Pattern）是直观察看数字基带传输性能的有效方法，用一个示波器

$$ 垂直输入 \xrightarrow{接} 匹配滤波器的输出\\ 水平扫描速度 \xrightarrow{设为} 𝑅_𝑠的整数倍 $$

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眼皮的厚度表示 ISI 的失真，眼睛的张开程度表示噪声容限。

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消除 ISI 对带限脉冲的要求

时域特征：

$$ \left.\begin{align*} g(0) &= 1\\ \sum\limits_{k=-\infty, k\ne n}^{\infty}a_kg\big((n - k)T_s\big) &= 0 \end{align*}\right\rbrace \Leftrightarrow \sum\limits_{k=-\infty, k\ne n}^{\infty}a_{n - k}g\big(kT_s\big) = 0\\ \Leftrightarrow g(kT_s) = \begin{cases} 1, k = 0,\\ 0, k \ne 0 \end{cases} \\ \lrArr g(t)\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t + nT_s) = \delta(t) $$

从频域提取特征：

$$ g(t)\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t + nT_s) = \delta(t) \lrArr G(f) *\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{T_s}\delta(f + \frac{n}{T_s}) = 1\\ \lrArr \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}G\left(f + \frac{n}{T_s}\right) = T_s $$

Nyquist 准则

将带限脉冲的频谱分别平移 $n/T_s$ （ $n$ 为任意整数）若其叠加的结果对任意频率恒为定值，则 ISI 为0

通信速率与带宽效率

理解 Nyquist 准则

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  • 最大符号速率受制于带宽 $R_s = \frac{1}{T_s} \le 2W$
  • 低通发送滤波器应该满足残留对称条件

通信速率与带宽效率

$$ R_s \le 2W\\ R_b = R_s \log_2 M\\ \Rightarrow R_b \le 2W \log_2 M $$
  • 针对给定形式的低通滤波器，可写出 $R_s$ 与 $W$ 之间的线性函数关系

信号功率与带宽效率

设单个符号的能量为 $E_s$

则信号功率为单位时间内的能量

$$ P = \frac{E_s}{T_s} = E_sR_s $$

无冗余编码时，一个比特的能量为 $𝐸_𝑏$ ，则

$$ P = \frac{E_b\log_2 M}{T_s} = E_bR_b $$

带宽效率的定义：单位带宽承载的速率

$$ \eta = \frac{R_b}{W} \le 2\log_2 M $$
  • 为什么不能无限制扩大符号集合？

过大的符号集合对信噪比有更高的要求，噪声容易干扰符号的分辨

升余弦滤波器

升余弦滤波器

由于理想滤波器难以实现，所以常用满足残留对称条件的非理想低通生成基带脉冲，最常用的就是升余弦滤波器

Raised Cosine(要记住)

$$ H(f) = \begin{cases} T_s, &0 \le |f| \lt \frac{1 - \alpha}{2 T_s}\\ \frac{T_s}{2}\left\lbrace1 + \cos \left[\frac{\pi T_s}{\alpha}\left(|f| - \frac{1 - \alpha}{2T_s}\right)\right]\right\rbrace, &\frac{1 - \alpha}{2 T_s} \le |f| \le \frac{1 + \alpha}{2 T_s}\\ 0, & |f| \gt \frac{1 + \alpha}{2 T_s} \end{cases} $$ $\alpha = 2WT_s - 1 \in [0, 1]$ 称为滚降系数，越小坡越陡，越大坡越缓。

时域冲激响应：

$$ h(t) = \text{Sa}(\pi t/ T_s)\frac{\cos (\alpha\pi t/ T_s)}{1 - 4(\alpha t/T_s)^2} $$

升余弦滤波器的性质：

常考性质：

$$ W = \frac{\alpha + 1}{2T_s} = \frac{\alpha + 1}{2}R_s \Rightarrow R_s/2 \le W \le R_s\\ R_s = \frac{1}{T_s} = \frac{2}{\alpha + 1} W \Rightarrow W \le R_s \le 2W $$

带宽效率

$$ \eta_b = \frac{R_s\log_2|\mathcal{S}|}{W} \le 2\log_2|\mathcal S| $$

升余弦滤波器的带宽效率

$$ \eta_b = \frac{2\log_2|\mathcal{S}|}{\alpha + 1} $$

PCM 语言信号速率 64kbps：8 bit 采样，8 bit 量化，8*8 = 64.

例题一：传送一路PCM语音信号

  • 若带宽限制为40kHz，采用二元码，则可用滚降系数范围
    是多少？
  • 若采用四元码，最多需要多少带宽？

解：PCM语音信号是64kbps

  • 采用二元码，则所需符号速率为 $R_s = R_b = 64kbps$

  • 则 $\frac{\alpha + 1}{2}64 \le 40$ , $0\le \alpha \le 0.25$

  • 采用四元码： $R_s = \frac{R_b}{\log_24} = 32kbps$

  • $W \le R_s = 32kHz$

例题二：若传送一路信号 $𝑅_𝑏$ = 112kbps，信道带宽𝑊 = 30𝑘bps,
求𝑀和𝛼

$$ \frac{\log_2M}{\alpha} = \frac{R_b}{2W} = \frac{28}{15} \in [1.5, 2]\\ $$

认定 $\log_2M = k$ 为整数，则 $k = 2 或 3$ 。对应可解：

$$ \alpha_1 = \frac{1}{14}, M_1 = 4\\ \alpha_2 = \frac{17}{28}, M_2 = 8 $$

通信信号的功率谱计算

功率谱刻画了随机过程的功率在频域上的分布。

  • 对于宽平稳过程（自相关只与时差有关），功率谱易于从 $R(\tau)$ 的傅里叶变换得到，即 $S(f) = \mathcal{F}[R(\tau)]$
  • 但是，通信信号一般不是宽平稳过程，而是周期平稳过程： $R(t_1, t_2) = R(t_1 + kT_s, t_2 + kT_s)$

定义

$$ \overline{R}(\tau) = \frac{1}{T_s} \int_{0}^{T_s}R(t+\tau, t)\mathrm dt $$

则其功率谱

$$ S(f) = \mathcal{F}[\overline{R}(\tau)] $$

若输入信号的功率谱 $S_{AI}(f)$ ，输出为 $S_A(f)$ ，则对于宽平稳和周期平稳信号均有卷积关系：

$$ S_A(f) = S_{AI}(f)|H(f)|^2 $$

证明可以采用样本统计法：假设符号序列的长度为 $2N - 1$ .

$$ s_{AI}(t) =\sum\limits_{k=-N}^{N}a_k\delta(t - k T_s)\\ s_{A}(t) =\sum\limits_{k=-N}^{N}a_kh(t - k T_s)\\ \hat s_{AI}(f) =\sum\limits_{k=-N}^{N}\exp(-j2k\pi T_sf)\\ \hat s_{A}(f) = H(f)\sum\limits_{k=-N}^{N}\exp(-j2k\pi T_sf) $$

功率谱的定义：

$$ S(f) = \lim\limits_{N\rightarrow\infty} \frac{E(|\hat s(f)|^2)}{(2N + 1)T_s} $$

可以验证 $S_A(f) = S_{AI}(f)|H(f)|^2$

针对样本统计法，可以算出 $E(|\cdot|^2)$ 的表达式：

$$ S_A(f) = \frac{|H(f)|^2}{T_s}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}R_a[n] \exp (-j2n\pi T_s f) $$

这里 $R_a[m]$ 是输入符号的自相关。

先考虑无记忆调制，符号之间相互独立：

$$ R_a[n] = E[a_ia_{i+n}] = \begin{cases} \sigma_a^2+m_a^2 &n=0\\ m_a^2 &n\ne 0 \end{cases} $$

其中， $m_a = E[a_n]$ ， $\sigma_a^2 = E[a_n^2] - m_a^2$

于是，重写累加部分：

$$ \begin{align*} &\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}R_a[n] \exp (-j2n\pi T_s f) \\ =& \sigma_a^2 + m_a^2\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\exp\big[-jn(2\pi T_s)f\big]\\ =& \sigma_a^2 + \frac{1}{T_s}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\delta\bigg(f - \frac{n}{T_s}\bigg) \end{align*} $$

从而

$$ S_A(f) = \underbrace{\frac{\sigma_a^2}{T_s}|H(f)|^2}_{连续谱} + \underbrace{\frac{m_a^2}{T_s^2}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\bigg|H\bigg(\frac{n}{T_s}\bigg)\bigg|^2 \delta\bigg(f - \frac{n}{T_s}\bigg)}_{线谱} $$

此式应用的两个条件：

  • 无记忆
  • 不同符号波形一致

线谱：可用于定时恢复。方便恢复时钟分量。

任意波形调制

之前将 $a_i$ 映射为 $a_ih(t)$ ，可以推广：

$$ \forall a_i \ne a_j, s_i(t) \ne s_j(t) $$

有时候由于信号功率需要保持稳定（恒包络调制），对不同符号采用不同波形，而不是采用变化幅度的信号。

若任意波形二元调制信号 $s(t) =\sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}g_k(t)$

$$ g_k(t) = \begin{cases} s_1(t - kT_s), w.p.\ p\\ s_2(t - kT_s), w.p.\ \bar p = 1 - p \end{cases} $$

(w. p. = with probability)

分解为直流分量和交流分量：

$$ s(t) = \underbrace{E(s(t))}_{DC,记为v(t)} + \underbrace{s(t) - E(s(t))}_{AC, 记q(t)} $$

则

$$ v(t) = \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}[ps_1(t - kT_s) + \bar p s_2(t - kT_s)] $$

这是一个周期为 $𝑇_𝑠$ 的确定性周期信号，功率谱由傅里叶展开计算

$$ S_v(f) =\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}|D_n|^2\delta(f - \frac{n}{T_s})\\ D_n = \frac{1}{T_s}\int_{-T_s/2}^{T_s/2}v(t)e^{-j2\pi t/T_s}\mathrm dt = \frac{1}{T_s}\Big(p\hat s_1\big(\frac{n}{T_s}\big) + \bar p \hat s_2(\frac{n}{T_s}\big)\Big) $$ $$ S_v(f) = \frac{1}{T_s}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\bigg|\Big(p\hat s_1\big(\frac{n}{T_s}\big) + \bar p \hat s_2(\frac{n}{T_s}\big)\Big)\bigg|^2 \delta(f - \frac{n}{T_s}) $$

用样本统计法计算 $S_q(f)$ ：

$$ \begin{align*} S_q(f) =& \lim\limits_{N\rightarrow\infty} \frac{E(|\hat q_N(f)|^2)}{(2N + 1)T_s}\\ =& \frac{p\bar p}{T_s}|\hat s_1 (f) - \hat s_2(f)|^2 \end{align*} $$ $$ S(f) = \frac{p\bar p}{T_s}|\hat s_1 (f) - \hat s_2(f)|^2 + \frac{1}{T_s}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\bigg|\Big(p\hat s_1\big(\frac{n}{T_s}\big) + \bar p \hat s_2(\frac{n}{T_s}\big)\Big)\bigg|^2 \delta(f - \frac{n}{T_s}) $$

基带解调

最佳接收用于在给定发送功率下提高信噪比

最佳判决用于在给定信噪比下降低误码率

基带传输的噪声模型

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如何选择解调方案？

方案一：直接抽样

在信号的峰值位置 $t = kT_s$ 抽样最好。

但噪声方差满足：

$$ \sigma^2 = E \lbrace n^2(t_1) \rbrace = R(0) = \frac{n_0}{2}\delta(0) \rightarrow \infty $$

（理想的白噪声信号具有无穷大功率）

真实的噪声环境下，接收信号质量随着噪声信号功率的增加而变差。如果信号的峰值处恰好噪声很大，则产生严重失真。

方案二：能量累积

alt

噪声信号仍为高斯随机变量：

$$ n = \int_{0}^{T_s}n(t)\mathrm dt $$

噪声方差：

$$ \sigma^2 = E\lbrace n^2 \rbrace = \int_{0}^{T_s}\int_{0}^{T_s}\frac{n_0}{2}\delta(t_1 - t_2)\mathrm dt_1\mathrm dt_2 = \frac{n_0T_s}{2} $$

信噪比：

$$ \frac{S}{N} = \frac{\left (\int_{0}^{T_s}a_i h(t)\mathrm dt \right)^2}{T_sn_0/2} $$

直接积分不是最好的方案。

方案三：匹配滤波

匹配滤波的基本思想就是对接收值进行加权线性累加，从而最大化抽样时刻信号功率与噪声功率的比值。

alt

相关器为 $g(t)$ 。假设信号为实信号。复信号有类似结论。

$$ P_S = \left |\int_{0}^{T_s}a_ih(t)g(t)\mathrm dt \right|^2\\ P_N = \mathbf E \left [ \left | \int_{0}^{T_s}n(t)g(t)\mathrm dt \right|^2 \right] = \frac{1}{2}n_0 \int_{0}^{T_s}g^2(t)\mathrm dt $$

利用 Cauchy-Schwartz 不等式：

$$ \frac{\left |\int_{0}^{T_s}a_ih(t)g(t)\mathrm dt \right|^2}{\frac{1}{2}n_0 \int_{0}^{T_s}g^2(t)\mathrm dt} \le \frac{2}{n_0}\int_{0}^{T_s}a_i^2h^2(t)\mathrm dt $$

等号成立当且仅当 $g(t) = kh(t)$ 。

若为复信号，则需要

$$ g(t) = h^*(t) $$

如何把相关器写成滤波器形式？

（滤波=卷积，相关和卷积就是差一个反褶的关系）

$$ y(t) = [a_ih(t) + n(t)] * h_m(t) = \int_{-\infty}^{\infty}[a_ih(\tau) + n(\tau)]h_m(t - \tau)\mathrm d\tau $$

考虑因果系统，一般将符号波形的最高点设置为 $t = T_s$ ：

$$ y(T_s) = \int_{-\infty}^{\infty}[a_ih(\tau) + n(\tau)]h_m(T_s - \tau)\mathrm d\tau $$

与相关器比较得到匹配滤波器的表达式：

$$ h_m(t) = h(T_s - t) $$

alt

图中的“开关”是抽样。

匹配滤波的频域解释：

$$ P_S = \left | \int_{-\infty}^{\infty}H(f)H_m(f)e^{j2\pi fT_s}\mathrm df \right|^2\\ P_N = \frac{n_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H_m(f)|^2\mathrm df\\ \frac{S}{N} = \frac{\left | \int_{-\infty}^{\infty}H(f)H_m(f)e^{j2\pi fT_s}\mathrm df \right|^2}{\frac{n_0}{2}\int_{-\infty}^{\infty}|H_m(f)|^2\mathrm df} = \frac{2}{n_0}\int_{-\infty}^{\infty}|H(f)|^2\mathrm df $$

Cauchy-Schwartz

$$ H_m(f) = H^*(f)e^{-j2\pi fT_s} $$

匹配滤波的增益

数字传输的优势：数字传输中，基带脉冲h(t)是给定的，在整个码元周期内可以相干累加，而同时让噪声在整个周期内自我抵消

$$ \left (\frac{S}{N} \right)_{\text{match}} \bigg/ \left (\frac{S}{N} \right)_{\text{w.o.match}} = \frac{T_s \int_{0}^{T_s}h^2(t)\mathrm dt}{\left ( \int_{0}^{T_s}h(t)\mathrm dt \right)^2} \ge \frac{T_s \int_{0}^{T_s}h^2(t)\mathrm dt}{\int_{0}^{T_s}1\mathrm dt\int_{0}^{T_s}h^2(t)\mathrm dt} = 1 $$

匹配滤波的信噪比

$$ \frac{S}{N} = E \left [ \frac{2}{n_0} \int_{0}^{T_s}a_i^2h^2(t)\mathrm dt \right] = \frac{\int_{0}^{T_s}E[a_i^2]h^2(t)\mathrm dt}{n_0/2} = \frac{E_s}{n_0 / 2} $$

分子——传送一个符号的能量

分母——噪声谱密度，单位是能量的单位

以上采用的是等效基带模型。采用实际物理波形模型：

$$ S = \frac{E_s}{T_s} = E_sR_s\\ N = Wn_0\\ \frac{S}{N} = \frac{E_s}{n_0}\frac{R_s}{W}\\ $$

两个模型推得的信噪比表达式不同，差异在于等效基带模型使用了匹配滤波器，获得了最优的信噪比：

$$ \frac{R_s}{W} \le 2 \Rightarrow\left (\frac{S}{N} \right)_{\text{max}} = \frac{E_s}{n_0/2} $$

从实际物理波形模型来看，上式取等的条件应该是基带脉冲采用的是理想低通（Sa 函数），如果用升余弦滤波

$$ \frac{R_s}{W} = \frac{2}{\alpha + 1} \Rightarrow \left(\frac{S}{N}\right)_{\text{max}} = \frac{E_s}{n_0/2}\frac{2}{\alpha + 1} $$

但是，在等效基带模型中，我们考虑的是任意脉冲 $h(t)$ ，并没有要求它的形状，这两个模型在最优信噪比的产生条件上出现了矛盾？

alt

alt

传送一串符号

alt

无 ISI 条件：

$$ h(t)*h_m(t) = h(t) * h(T_s - t)\\ H(f)H_m(f) = H(f)H^*(f)e^{-j2\pi fT_s} = \left | H(f) \right|^2 e^{-j2\pi fT_s} $$

从而有根号奈奎斯特条件：

$$ H(f) = \sqrt{H_{N-I}(f)}e^{-j2\pi fT_s} H_m(f) = \sqrt{H_{N-I}^*(f)}e^{-j2\pi fT_s} $$

这就要求发送和接受滤波器要满足如下要求：

$$ h_T(t) = h_{\sqrt{N}}\left ( t - \frac{T_s}{2} \right)\\ h_R(t) = h_{\sqrt{N}}\left (\frac{T_s}{2} - t\right) = h_T(T_s - t) $$

符号差错模型：

alt

$$ y_i = \bar h a_i + n_i $$

alt

判决与差错

最佳判决

ima

ima

alt

多元符号的最佳判决

$$ a^* = \argmax_{a\in U} f(y|a)f(a)\\ f(a) = \frac{1}{M}\\ a^* = \argmax_{a\in U} f(y|a)\\ $$ $y = a + n$ 的条件分布是 $$ f(y|a) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}\exp\left(-\frac{(y - a)^2}{2\sigma^2}\right) $$

从而得到

$$ a^* = \argmin_{a\in U} |y - a| $$

选择一个符号，让它到接收符号y距离最小，以此作为判决结果！

双极性码的判决门限：

alt

单极性码的判决门限:

alt

SER & BER

考虑二元符号

发送 A 的出错概率：

$$ \int_{-\infty}^{0}f(y|a = A)\mathrm dy = \int_{A/\sigma}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \left ( -\frac{t^2}{2} \right)\mathrm dt = Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) $$

发送 -A 的出错概率：

$$ \int_{-\infty}^{0}f(y|a = A)\mathrm dy = Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) $$

从而平均符号差错概率：

$$ P_s = \frac{1}{2}\left (Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) + Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) \right) = Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) $$

称为符号差错概率(Symbor Error Probability, SEP)，其统计结果称为误符号率（Symbol Error Ratio, SER）

由于Q是减函数，所以误符号率随A增大而减小，随噪声标准差增大而增大

误符号率不关心具体的A或标准差，而是由其比值所决定

对于多元而言：

对于任意符号集合，只要某判决门限与符号距离为A，则由于超出该判决门限而差错的条件概率就是：

$$ Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) $$

计算信噪比：

信号平均功率： $S = \frac{1}{M}\sum\limits_{i=1}^{M}|a_i|^2$

信号峰值功率： $S_p = \max_{a_i \in U} |a_i|^2$

噪声功率： $N = \sigma^2$

对于双极性二元符号，平均功率为 $S = A^2$

从而信噪比为

$$ \frac{S}{N} = \frac{A^2}{\sigma^2} $$

利用等效关系得到误符号率和信噪比的关系

$$ P_s = Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) = Q \left ( \sqrt{\frac{S}{N}} \right) $$

更一般的二元码 SER

$$ U = \lbrace D-A, D+A \rbrace\\ \zeta = \frac{D}{A}\\ P_s = Q(\sqrt{\frac{S}{(1 + \zeta^2)N}}) $$

更一般的 M 元码 SER

符号集合为 $\lbrace D - (M - 1)A, \dots, D + (M - 1)A \rbrace$

$$ \zeta = \frac{D}{A\sqrt{\frac{M^2 - 1}{3}}}\\ P_s = \frac{2(M - 1)}{M}Q \left ( \sqrt{\frac{3}{M^2 - 1}\frac{S}{(1 + \zeta^2)N}} \right) $$

双极性 M 元码的 SER (掌握计算方法)

$$ P_s = \frac{2(M - 1)}{M } Q \left ( \sqrt{\frac{3}{M^2 - 1} \frac{S}{N}}\right) $$

无论M为奇数还是偶数，结果都是一样的！

单极性 M 元码的 SER (掌握计算方法)

$$ P_s = \frac{2(M - 1)}{M } Q \left ( \sqrt{\frac{3}{2(M - 1)(2M - 1)} \frac{S}{N}}\right) $$

要使得双极性和单极性码的 SER 相同，二者的信噪比的比值为

$$ \left ( \frac{S}{N} \right)_d \bigg / \left ( \frac{S}{N} \right)_s = \frac{M^2 - 1}{2(M - 1)(2M - 1)} \approx \frac{1}{4} $$

显然，双极性的性能更好，它对信噪比的要求是单极性的四分之一，更能忍受噪声。

误比特率(Bit Error Rate, BER)：

$$ P_b \approx \frac{P_s}{\log_2M} $$

注意这是近似结果，且有成立条件，只对二元码是严格成立的！

  • 假设一个符号的错判导致 1bit 的错误，假设成立的条件：
    • Grey 码映射
    • 信噪比不过于小

各类符号集合的 BER

双极性二元码

$$ P_b = Q \left ( \sqrt{\frac{S}{N}} \right) $$

单极性二元码

$$ P_b = Q \left ( \sqrt{\frac{S}{2N}} \right) $$

单极性二元码损失了 3 dB.

双极性 M 元码

$$ P_b = \frac{2(M - 1)}{M\log_2 M}Q(\sqrt{\frac{3}{M^2 - 1}\frac{S}{N}}) $$

单极性 M 元码

$$ P_b = \frac{2(M - 1)}{M\log_2 M} Q \left ( \sqrt{\frac{3}{2(M - 1)(2M - 1)} \frac{S}{N}}\right) $$

由于

$$ \frac{S}{N} = 2\log_2 M\frac{E_b}{n_0} $$

故可以把 SER 和 BER 用 $E_b/n_0$ 表示：

双极性二元码：

$$ P_s = Q \left ( \sqrt{\frac{2E_b}{n_0}} \right)\\ P_b = Q \left ( \sqrt{\frac{2E_b}{n_0}} \right) $$

单极性二元码：

$$ P_s = Q \left ( \sqrt{\frac{E_b}{n_0}} \right)\\ P_b = Q \left ( \sqrt{\frac{E_b}{n_0}} \right) $$

双极性 M 元码：

$$ P_s = \frac{2(M - 1)}{M}Q(\sqrt{\frac{6\log_2 M}{M^2 - 1}\frac{E_b}{n_0}})\\ P_b = \frac{2(M - 1)}{M\log_2 M}Q(\sqrt{\frac{6\log_2 M}{M^2 - 1}\frac{E_b}{n_0}}) $$

单极性 M 元码：

$$ P_s = \frac{2(M - 1)}{M} Q \left ( \sqrt{\frac{3\log_2 M}{(M - 1)(2M - 1)} \frac{E_b}{n_0}}\right)\\ P_b = \frac{2(M - 1)}{M\log_2 M} Q \left ( \sqrt{\frac{3\log_2 M}{(M - 1)(2M - 1)} \frac{E_b}{n_0}}\right) $$

例子：相移键控 MPSK

$$ \begin{align*} S_{MPSK}(t) =& \sum\limits_{n}^{}g(t - nT_s)A\cos(\omega_c t + \phi_n)\\ =& \left [\sum\limits_{n}^{}A\cos \phi_n g(t - nT_s) \right]\cos \omega_c t + \left [\sum\limits_{n}^{}A\sin \phi_n g(t - nT_s) \right]( - \sin \omega_c t) \end{align*} $$
  • 所有符号的模相同
  • 幅角在 $[0, 2\pi]$ 均匀分布

可以用星座图表示：

alt

根据信号的 $I, Q$ 表示

计算 MPSK 的 SER:

考虑星座点 $(A, 0)$

接收信号的分布函数为

$$ f(a, b) - \frac{1}{2\pi \sigma_n^2}\exp \left ( -\frac{(a - A)^2 + b^2}{2\sigma_n^2} \right) $$

变换到极坐标系

$$ f(\rho, \theta) = \frac{\rho}{2\pi\sigma_n^2}\exp \left ( -\frac{\rho^2 + A^2 - 2A\rho\cos\theta}{2\sigma_n^2} \right)\\ f(\theta) = \int_{0}^{\infty}f(\rho, \theta)\mathrm d\rho = \frac{1}{2\pi}\exp \left ( -\frac{A^2}{2\sigma_n^2}\sin^2\theta \right)\int_{0}^{\infty}\rho\exp \left (-\frac{(\rho - A/\sigma_n\cos\theta)^2}{2} \right)\mathrm d\rho $$

误符号率可以表示为

$$ P_{s, MPSK} = 1 - \int_{-\pi/M}^{\pi/M}f(\theta)\mathrm d\theta $$

用信噪比表示：

$$ f(\theta) = \int_{0}^{\infty}f(\rho, \theta)\mathrm d\rho = \frac{1}{2\pi}\exp \left ( -\frac{S}{2N}\sin^2\theta \right)\int_{0}^{\infty}\rho\exp \left (-\frac{(\rho - \sqrt{S/N}\cos\theta)^2}{2} \right)\mathrm d\rho $$

如果 $S/N$ 很大：

$$ \begin{align*} \int_{0}^{\infty}\rho\exp \left (-\frac{(\rho - \sqrt{S/N}\cos\theta)^2}{2} \right)\mathrm d\rho \approx& \int_{-\infty}^{\infty}\rho\exp \left (-\frac{(\rho - \sqrt{S/N}\cos\theta)^2}{2} \right)\mathrm d\rho\\ =& \sqrt{\frac{S}{N}}\cos\theta \end{align*} $$

利用高信噪比近似：

$$ f(\theta) = \sqrt{\frac{S}{2\pi N}}\cos\theta \exp \left ( -\frac{S}{2N}\sin^2\theta \right) $$

当 M 比较大时：

$$ \begin{align*} P_{s, MPSK} =& 1 - \int_{-\pi/M}^{\pi/M}\sqrt{\frac{S}{2\pi N}}\cos\theta \exp \left ( -\frac{S}{2N}\sin^2\theta \right)\mathrm d\theta\\ \approx& \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{\pi/M}^{\infty}\sqrt{\frac{S}{2N}}\cos\theta\exp \left ( -\frac{S}{2N}\sin^2\theta \right)\mathrm d\theta\\ =& \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_{\pi/M}^{\infty}\exp \left ( -\frac{S}{2N}\sin^2\theta \right)\mathrm d\sqrt{\frac{S}{N}}\sin\theta\\ =& \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \int_{\sqrt{S/N}\sin\pi/M}^{\infty}\exp \left ( -\frac{u^2}{2} \right)\mathrm du\\ =& 2Q \left ( \sqrt{\frac{S}{N}}\sin\frac{\pi}{M} \right) \end{align*} $$

换算成 BER， $E_b/n_0$

$$ P_{b, MPSK} = \frac{2}{\log_2M}Q \left ( \sqrt{2\log_2M\frac{E_b}{n_0}}\sin\frac{\pi}{M} \right) $$

一个简单的方法：

看起来像是先射箭后画靶。

alt

例子2：正交幅度调制 QAM

信号表示

$$ \begin{align*} S_{MQAM}(t) =& \left [\sum\limits_{n}^{}a_n g(t - nT_s) \right]\cos \omega_c t + \left [\sum\limits_{n}^{}b_n g(t - nT_s) \right]( - \sin \omega_c t) \end{align*} $$

I,Q 两路的电平集合：

$$ a_n\in \lbrace \pm A, \dots, \pm(M - 1)A \rbrace\\ b_n\in \lbrace \pm A, \dots, \pm(M - 1)A \rbrace\\ $$

QAM是一种典型的星座图，它分布于复平面的格点上，其符号的实虚部均为奇数（便于分析）

解调过程：

I 路信息提取：乘以同相载波 $\cos\omega_c t$ ，再低通滤波

Q 路信息提取：乘以同相载波 $-\sin\omega_c t$ ，再低通滤波

差错分析：

alt

（通过后面的分析可以发现，降低误码率的关键是将符号间的最小距离最大化）

计算各符号的差错概率：

四个角：

$$ P_s = 1 - \left [ 1 - Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) \right]^2 $$ $4(L - 2)$ 个边点： $$ P_s = 1 - \left [ 1 - Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) \right]\left [ 1 - 2Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) \right] $$ $(L - 2)^2$ 个内点： $$ P_s = 1 - \left [ 1 - 2Q \left ( \frac{A}{\sigma} \right) \right]^2 $$

计算平均 SEP：

$$ \begin{align*} P_s =& \frac{1}{L^2}\lbrace 4(2Q - Q^2) + 4(L - 2)(3Q - 2Q^2) + (L - 2)^2(4Q - 4Q^2) \rbrace\\ \approx& \frac{4L^2 - 4L}{L^2}Q \left ( \frac{A}{\sigma_n} \right) \end{align*} $$

省略了 $Q$ 的高阶量。

计算平均功率：

$$ S = 2 \times \frac{2A^2}{L}[1^2 + 3^2 + \dots + (L - 1)^2] = \frac{2(L^2 - 1)}{3}A^2 $$

是同A的LPAM功率的两倍。因为MQAM有两路LPAM

得到 SEP：

$$ P_s = \frac{4M - 4L}{M} Q \left (\sqrt{\frac{3}{2(M - 1)}\frac{S}{N}} \right)\\ M = L^2 $$

得到 BEP：

$$ P_b = 4 \left (1 - \frac{1}{\sqrt M} \right) Q \left (\sqrt{\frac{3\log_2M}{2(M - 1)}\frac{E_b}{n_0}} \right) \approx 4Q\left (\sqrt{\frac{3\log_2M}{2(M - 1)}\frac{E_b}{n_0}} \right)\\ $$

注意到MQAM可以看成两路正交的MPAM

$$ \begin{align*} P_{s, MQAM} =& 1 - (1 - P_{LPAM})^2\\ \approx& 2P_{LPAM}\\ =& 4 \left ( 1 - \frac{1}{\sqrt M} \right)Q \left ( \sqrt{\frac{3}{(M - 1)}\frac{S/2}{N}} \right) \end{align*} $$

这个推导方式更简单。

QAM 是在独立解映射条件下最好的方案。但是距离高斯信道容量还有一定距离。要达到更好的信道容量，可以采用联合解映射，将译码过程联合起来。

例子3：频移键控 FSK

一般来说，信号表达式和调制框图的相互反演是比较容易做的

相对于PAM，PSK和QAM，FSK占用更大的频带，

相干解调

Coherent Demodulation

  • 反思FSK非相干解调方式，如果对每个频率的载波进行匹配，则可以提高信噪比

  • 这种方法需要本地子载波

  • 解调器的结构和非相干解调很像

  • 无法用星座图方法表示，但是可以用类似的信号空间表示

  • 若MFSK载频等间隔，则调制阶数约高，占用带宽越大

  • 如果每次可以选择多个载频，甚至控制载频幅度，则可承载的符号量可以获得极大提升。由此便引申出OFDM技术

  • 通过调制FSK的每个载波的幅度相位，可以承载更多的信息

星座图没法表述 FSK. 可以使用信号空间方法来表示。

差错分析：

FSK 的判决门限为棱锥形状：

alt

根据对称性，可以只考虑一个符号的差错概率。

考虑 FSK 信号

$$ [A, 0, \dots, 0] $$

匹配滤波的输出为

$$ [A + n_1, n_2, \dots, n_M] $$

正确判决：信号落在本棱锥中

$$ A + n_1 \gt n_i, i = 2, \dots, M $$

被判决符号的条件分布为

$$ f_{[A + n_1, n_2, \dots, n_M]}(\vec r) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp \left ( -\frac{(r_1 - A)^2}{2\sigma^2} \right)\prod_{i = 2}^M\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp \left ( -\frac{r_i^2}{2\sigma^2} \right) $$

不满足正确判决条件的概率为

$$ \begin{align*} P_s =& 1 - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp \left ( -\frac{(r_1 - A)^2}{2\sigma^2} \right)\prod_{i = 2}^M \int_{-\infty}^{r_1}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp \left ( -\frac{r_i^2}{2\sigma^2} \right)\mathrm dr_i\mathrm dr_1\\ =&1 - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp \left ( -\frac{(r_1 - A)^2}{2\sigma^2} \right)\left (\int_{-\infty}^{r_1}\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}}\exp \left ( -\frac{r_i^2}{2\sigma^2} \right)\mathrm dr_i \right)^{M - 1}\mathrm dr_1 \end{align*} $$

记 $x = \frac{r_1}{\sigma}$

$$ \begin{align*} P_s =& 1 - \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp \left ( -\frac{(x - A/\sigma)^2}{2} \right)\left (1 - Q(x)\right)^{M - 1}\mathrm dx\\ =& 1 - \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}\exp \left ( -\frac{u^2}{2} \right)\left (1 - Q \left (u + \frac{A}{\sigma} \right)\right)^{M - 1}\mathrm du \end{align*} $$ $$ \frac{A}{\sigma} = \sqrt{\frac{S}{N}} = \sqrt{\log_2M\frac{2E_b}{n_0}} $$

可得 SEP 的表达式

$$ \begin{align*} P_s =& 1 - \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}\exp \left ( -\frac{u^2}{2} \right)\left (1 - Q \left (u + \sqrt{\frac{S}{N}} \right)\right)^{M - 1}\mathrm du\\ =& 1 - \frac{1}{\sqrt{2\pi }}\int_{-\infty}^{\infty}\exp \left ( -\frac{u^2}{2} \right)\left (1 - Q \left (u + \sqrt{\log_2M\frac{2E_b}{n_0}} \right)\right)^{M - 1}\mathrm du \end{align*} $$

另一种简单估界：

alt

正交 2FSK 信号在最佳接收条件时的错误概率为

$$ P_{b,NCFSK} = Q(\sqrt{E_b/n_0}) $$

随着 M 的增加，MFSK 的差错性能渐优，这是以带宽的占用为代价的。

PAM, QAM, ASK 等技术随着符号个数的增加，差错性能是越来越差。

FDM——Frequency Division Multiplexing

  • 先将各路信号调制到不同频段，然后复用整个
    通信带宽
  • 信道的非线性会在FDM系统中产生交调失真与
    高次谐波，引起路际串话，因此，对信道的非
    线性失真要求很高。此外，FDM用到的模拟滤
    波器设计较为复杂。

OFDM 基本原理

Orthogonal Frequency division multiplexing

  • 把一串高速数据流分解为若干速率低得多的子数据流。
  • 将每个子数据流放置在对应的子载波上。
  • 将多个子载波合成，一起并行传输。
  • 优点：频谱利用率高。

正交性的定义：

$$ \int_{0}^{T}S_1(t)S_2(t)\mathrm dt = 0 $$

设相邻子载波的频率间隔为 $1 / T$ ， $T$ 为 OFDM 符号的持续时间，则
任意一对子载波的内积满足

$$ \frac{1}{T}\int_{0}^{T}e^{j2\pi \frac{k_1}{T}t}e^{-j2\pi \frac{k_2}{T}t}\mathrm dt = \begin{cases} 1, k_1 = k_2\\ 0, k_1 \ne k_2 \end{cases} $$

带宽 $W$ 和 $B$ 的区别：

物理带宽 $W$

信号带宽 $B$ ：半功率带宽(3dB)，等效噪声带宽，谱零点带宽，功率比例带宽，最低功率谱带宽

带通信号的表示方法

$$ x(t) = A(t) \cos [\omega_c t + \varphi (t)]\\ $$

同相分量： $x_I(t) = A(t) \cos(\varphi(t))$

正交分量： $x_Q(t) = A(t) \sin(\varphi(t))$

与幅度相位的关系：

$$ A(t) = \sqrt{x_I^2(t) + x_Q^2(t)}\\ \varphi(t) = \tan^{-1} \left [ \frac{x_Q(t)}{x_I(t)} \right] $$

带通信号的基带表示的方法

$$ x_{bb}(t) = x_I(t) + jx_Q(t)\\ $$

解析信号表示

$$ x_A(t) = x_{bb}(t)e^{j\omega_ct}\\ x(t) = \real \lbrace {x_A(t)} \rbrace = \real \lbrace x_{bb}(t)e^{j\omega_ct} \rbrace $$

原始带通信号是解析信号的实部

从带通信号恢复基带信号？

$$ \breve{x}(t) = x(t) \circledast h(t)\\ h(t) = \frac{1}{\pi t}\\ \breve{x}(t) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{s(\tau)}{t - \tau}\mathrm d\tau\\ H(f) = -j \cdot \text{sgn}(f) = \begin{cases} -j, &f\gt 0\\ 0, &f=0\\ j, &f < 0 \end{cases} $$

构造解析信号

$$ x_A(t) = x(t) + j\breve{x}(t)\\ $$

频谱分析

$$ X_A(\omega) = [1 + \text{sgn}(\omega)]X(\omega) = \begin{cases} 2X(\omega), &\omega \gt 0\\ X(0) = 0, &\omega = 0\\ 0, &\omega \lt 0 \end{cases}\\ X_{bb} = X_A(\omega + \omega_c) $$

带通信道

具有实数值的信道冲激响应（CIR） $h(t)$

等效的解析冲激响应 $h_A(t) = h(t) + j\breve{h}(t)$

任意载波频率 $\omega_c$ 的等效基带冲激响应CIR

$$ h_{bb}(t) = h_A(t) \cdot e^{-j\omega_c t} $$

带通收发信号关系 $y(t) = x(t) * h(t)$ ，则

$$ Y(\omega) = H(\omega) X(\omega)\\ Y_A(\omega) = H_A(\omega)X_A(\omega)\\ Y_A(\omega) = [H(\omega) \cdot \frac{1}{2}\left (1 + \text{sgn}(\omega) \right)]X_A(\omega) = \left [ \frac{1}{2}H_A(\omega) \right]X_A(\omega) $$ $H_A(\omega)$ 只有正半轴部分 $$ Y_{bb}(\omega) = Y_A(\omega + \omega_c) = \left [ \frac{1}{2}H_A(\omega + \omega_c) \right]X_A(\omega + \omega_c) = H(\omega + \omega_c) X_{bb}(\omega) $$

基带等效系统

$$ y_{bb}(t) = \frac{1}{2}h_{bb}(t) * x_{bb}(t)\\ Y_{bb}(\omega) = H(\omega + \omega_c) X_{bb}(\omega) $$

基带时域转移函数 $\frac{1}{2}h_{bb}(t)$

基带频域转移函数 $H(\omega + \omega_c)$

用正交基观点构造了信号波形

$$ x(t) = \sqrt{2}\cos 2\pi f_c t \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}x^I_kg(t - kT_s) + \sqrt{2}\sin 2\pi f_c t \sum\limits_{k=-\infty}^{\infty}x^Q_kg(t - kT_s) $$

投影后的噪声：

$$ E \lbrace n_k^In_l^Q \rbrace = 0\\ E \lbrace n_k^In_l^I \rbrace = \delta_{kl}\\ E \lbrace n_k^Qn_l^Q \rbrace = \delta_{kl} $$

等效符号差错模型

$$ y_k = x_k + n_k\\ n_k \sim \mathcal{CN}(0, n_0) $$

差错控制

差错控制的分类：

  • 检错重发 （ARQ）
  • 前向纠错 （FEC）

前向纠错的分类：

  • 线性码，非线性码
  • 分组码（重点），卷积码
  • 系统码，非系统码

编码增益

给定误比特率的情况下，采用纠错编码后， $E_b/n_0$ 的减小量称为编码增益。

简单例子：

重复编码

BSC 重传三次：

$$ 3p_e^2(1 - p_e) + p_e^3 \approx 3p_e^2 $$

信道编码：通过合理得增加冗余信息，纠正信道传输中可能出现的错误

  • 又称为纠错码（Error Correction Coding）

理想信道编码的局限性：

  • 码长无穷大
  • 没发现代数结构，复杂度太大

如何实用化：

  • 有限长。代价：误码率非零，效率低
  • 有代数结构。优点：便于译码

评价标准

  • 误比特率：评价可靠性
  • 码率：评价有效性

分组码

奇偶监督码

  • 检错，而非纠错
  • 电路实现简单

漏检概率：

$$ P_m =\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{2}\rfloor}\binom{n}{2i}\varepsilon^{2i}(1 - \varepsilon)^{n - 2i} $$

群计数码

  • 累计信息码元中1的个数，以二进制形式放在信息码元后面
  • 检错能力
    • 强于奇偶校验码
    • 当{1变0数量=0变1数}时，无法检出

纠错码的直观表示

  • 码字
    • 对应 $n$ 维空间的点

Hamming 距离：两个码字之间不同码元的个数

Hamming 距离

  • $x_m$ 和 $x_m^\prime$ 中不同取值的位置数 $d_H(\mathbf x_m, \mathbf x_m^\prime)$
  • 即模2和中1的个数

汉明码重

  • 二进制向量 $\mathbf x_m$ 1的个数 $w(\mathbf x_m)$

最小距离

一个分组码中任意两个码字的最小汉明距离 $d_{\text{min}}$

(n,k)纠错码

$$ B = E + A, \forall A \in \chi\\ S = BH^T = EH^T\\ $$ $S$ 与 $A$ 无关， $A$ 只是无用的陪同（coset）。

陪集首：上述陪集的特征由 $S = EH^T$ 标识，我们称 $E$ 为陪集首。

陪集首一般选择集合中 “1” 最少的元素，这是为了优先标识错误数量较小的差错，这一类差错发生的概率较大。

码重：

$$ w(A) =\sum\limits_{i=1}^{n}\mathbf 1 \lbrace a_i = 1 \rbrace = d_H(A, 0) $$

001 -> 0,0,0,0,0,1 -> 101

010 -> 0,0,0,0,1,0 -> 011

011 -> 0,0,0,1,0,0 -> 110

100 -> 0,0,1,0,0,0 -> 001

101 -> 0,1,0,0,0,0 -> 010

110 -> 1,0,0,0,0,0 -> 100

111 -> 0,1,0,0,0,1 -> 111

交织器

线性码的改进：

  • 上述线性码，均适合于纠正零散错误
  • Hamming码对于2个以上的差错就无能为力
  • 若差错总是成对出现，则Hamming码基本没用
  • 在通信系统中，往往存在不可抗拒的突发错误

例如：无线信道的衰落引起的误码

抗突发误码的方法：交织器

基本原理

  • 为了对付突发的信道差错，交织器改变发送码元的时
    间顺序
  • 将原本相邻的码元在时间上的距离最大化
  • 例子：考虑一个（n, k）分组码，其交织后的输出为

将突发误码转换成零星误码

交织器的性能：

宽度

  • 就是分组码的码长n
  • 决定于所采用的分组码

深度

  • 深度m决定了相邻码元交织后的间隔
  • m又称交织深度
  • 若分组码能纠b个突发错误，则交织后能纠mb个突发错误

解交织：

  • 从另一个角度来看，解交织打散了突发误码
  • 化整为零后的零散误码，就可以交给解码器对付了

卷积码

输入无限长的激励，则输出信号无限长，

若冲激响应有限，则输出只与某一段输入有关

卷积码的参数 $n, k, N$

约束长度，信息码位，每次输出

使用树状图进行分类讨论

树状图的冗余：

  • 树状图具有很多冗余表示

树状图的应用：计算最小码距

  • 分组码的最小码距定义为非零码字的最小码重
  • 和分组码不同，卷积码没有分组的概念
  • 约束长度隐含了某种独立性，可以只考虑 $kN$ 的信息比特编码后的非零码字，也就是考虑 $nN$ 个非零的编码输出位

状态图的应用

  • 自由距：无限长信息序列编码后的最小汉明距离
  • 自由距不等于最小距

自由距等于寄存器从零状态开始，经过非零状态，然后回到零状态的输出1的个数的最小值

卷积码的译码

维特比译码

网格图

最大似然下的最优译码

  • 低复杂度
  • 采用最小汉明距离作为代价函数

采用动态规划的卷积码译码成为 viterbi 译码

  • viterbi 译码的起始状态是 0 状态
  • viterbi 译码没有确定的代价函数，

分组码译码可以知道是否译码错误了。通过校验矩阵来校验就行了。

但是 viterbi 译码并不能肯定译码结果是否正确。

硬判决和软判决

硬判决：任务是检测和矫正误码

软判决：应用于卷积/ Viterbi 译码器，迭代译码

检错重发 ARQ

$P_c = (1 - \varepsilon)^n$ 为正确概率 $P_d$ 检出错误概率 $P_m$ 漏检概率 $$ P_c + P_d + P_m = 1 $$

总分组差错概率

$$ P_b = P_m + P_dP_m + P_d^2P_m + \dots = \frac{P_m}{1 - P_d} = \frac{P_m}{P_c + P_m} $$

停等ARQ

收到上一个 ACK/NAK 再发送下一个包或者重传上一个包

假设发送方一直传输（一次就能传输成功），吞吐量的上限为

$$ \eta_{sw, 0} = \frac{k}{T_DR}\\ T_D = T_m + 2 T_d + T_c + T_a = T_m + T_{dca} = \frac{k}{n + T_{dca}R} $$

若有完美的差错检出能力 $P_d = 1 - (1 - \varepsilon)^n$

则

$$ \eta_{sw} = \frac{k/n}{1 + T_{dca}R/n}(1 - \varepsilon)^n $$

返回 N-ARQ

不等 ACK/NAK 返回就传下一个包，若检错则重传从错误开始的所有包

$$ \eta_{GBN, 0} = \frac{k}{n} $$